Materi OSN Matematika SMA

Materi OSN Matematika SMA | Kegiatan Olimpiade Sains Nasional yang diselenggarakan tiap tahun oleh Kemdikbud adalah sebuah ajang bergengsi untuk siswa yang salah satu tujuannya adalah untuk menumbuhkembangkan budaya kompetitif yang sehat di kalangan siswa SD/MI, SMP/MTs dan SMA/MA.

Sebagai bahan persiapan menyongsong event Olimpiade Sains Nasional khususnya mapel Matematika jenjang SMA, berikut ini akan saya bagikan materi yang diujikan di dalam OSN matematika SMA.

Materi soal-soal olimpiade matematika SMA biasanya bersumber pada buku-buku pelajaran, buku-buku penunjang dan bahan lain yang relevan. Penekanan soal OSN matematika SMA adalah pada aspek penalaran, pemecahan masalah dan komunikasi dalam matematika. Karakteristik soal OSN Matematika SMA adalah nonrutin dengan dasar teori yang diperlukan cukup dari teori yang diperoleh di SMP dan SMA saja. Akan tetapi untuk bisa menjawab soal, siswa memerlukan kematangan matematika dengan taraf lanjut berupa wawasan, kecermatan, kejelian, kecerdikan, cara berpikir dan pengalaman dengan matematika. Silabus materi olimpiade matematika SMA/MA mengacu kepada silabus International Mathematics Olympiad (IMO) dan dapat digolongkan ke dalam empat hal, yaitu:

1. Teori Bilangan
2. Aljabar
3. Geometri
4. Kombinatorika

Berikut ini beberapa teori-teori dalam matematika yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal-soal OSN matematika SMA.

1. Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM

Ketaksamaan AM – GM merupakan ketaksamaan yang paling sering digunakan dalam olimpiade matematika SMA. AM kepanjangannya adalah Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM kepanjangannya adalah Geometric Means atau rata-rata geometris.

Sifat ketaksamaan: Jika x dan y merupakan bilangan real positif, maka berlaku ketaksamaan:



Kesamaan didapat saat Ruas kiri merupakan AM dan ruas kanan merupakan GM. Kesamaan ini didapat dari sifat bahwa kuadrat dari suatu bilangan selalu positif.

Berikut ini bukti ketaksamaan AM - GM untuk 2 bilangan:

Misal p dan q yang keduanya merupakan bilangan real positif.
Karena kuadrat suatu bilangan selalu positif, maka kita dapat:


Terbukti.

Selain ketaksamaan AM – GM, ada juga sifat ketaksamaan yang lebih luas, yaitu ketaksamaan QM – AM – GM – HM. QM merupakan singkatan dari quadratic means atau rata-rata kuadrat, dan HM merupakan singkatan dari harmonic means atau rata-rata harmonis.

Sifat ketaksamaan:

Kesamaan dicapai saat

Contoh soal:
Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi

Jawaban:
Karena pangkat variabel x genap, maka pasti positif, sehingga berlaku ketaksamaan AM – GM:
Karena pada soal dinyatakan bahwa , sedangkan berdasarkan ketaksamaan AM – GM didapat , maka ketaksamaan tersebut hanya dipenuhi jika .
Jadi, memenuhi ketaksamaan saat atau sehingga yang memenuhi adalah atau  

2. Teorema Kecil Fermat

Teorema Fermat adalah teori matematika yang juga sering dipakai di dalam soal-soal OSN matematika SMA, yaitu pada bagian teori bilangan,
Ada dua teorema Fermat yang paling dikenal, yaitu teorema kecil Fermat (Fermat’s little theorem) dan teorema terakhir Fermat (Fermat’s last theorem). Tetapi yang sering dipakai dalam mengerjakan soal OSN matematika adalah teori yang pertama.

Teorema kecil Fermat
Misalkan a bilangan bulat positif dan sebuah bilangan prima, maka:
Atau biasa juga ditulis dengan dengan a bilangan bulat positif yang relatif prima terhadap bilangan prima p.
Ini berarti selalu habis dibagi p dengan p merupakan bilangan prima.

Teorema terakhir Fermat

Teorema fermat yang terakhir menyatakan bahwa tidak ada bilangan asli  yang memenuhi  untuk  (teori fermat yang cukup kontroversial, karena menyisakan persoalan kepada matematikawan sedunia untuk membuktikan kebenarannya dan sampai saat ini belum ada pembuktian/penjelasan yang dapat diterima oleh masyarakat matematika dengan bahasa yang sederhana)

Contoh soal penggunaan teori kecil Fermat:
Hitunglah sisa dari   dibagi 41

Penyelesaian:
Berdasarkan teorema Fermat berlaku:
atau
Jelas  maka:
 

Menghitung  :
 

Maka:  .

3. Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.

Langkah-langkah Induksi Matematika

Misalkan  suatu pernyataan yang dinyatakan berlaku untuk semua bilangan asli n.
Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:
Jika  benar, dan
Jika  benar yang mengakibatkan  juga benar,
Maka  bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh Soal Induksi Matematika:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:
f(n) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2).

Penyelesaian:
Langkah 1:
f(1) = 1 x 2 = 2
Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

Langkah 2:
Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:
f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) = . (persamaan 1)
Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:
f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, menjadi:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = + (k + 1)(k + 2)
Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas.
Terbukti jika untuk n = k benar maka untuk n = k + 1 juga benar.
Jadi terbukti pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n. 

4. Prinsip Keterbagian

Materi tentang keterbagian tidak diajarkan dalam pelajaran rutin matematika SMA, padahal soal tentang ini biasanya sering dipakai di dalam event olimpiade matematika SMA baik di level OSK atau OSP, yakni pada bab teori bilangan.

Keterbagian adalah sifat yang harus dimiliki suatu bilangan agar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Makna ‘habis’ dalam hal ini adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. 

Contoh: 

36 habis dibagi 12, hasilnya adalah 3. 

36 tidak habis dibagi 5, karena menghasilkan 7 dan masih sisa 1. 

Jika a habis dibagi oleh b, atau dalam bahasa lain 'b membagi habis a', maka dapat dinyatakan dengan b|a .

Sifat-sifat keterbagian:
Misalkan a, b, c, k, dan m merupakan bilangan-bilangan bulat, maka berlaku:
a|a
a|0
1|a
Jika a , maka a
Jika ab , maka a dan b
Jika a dan b , maka a
Jika a dan a a , maka a
Jika a dan b , maka ab jika a dan b relatif prima.

Uji Habis Dibagi
Berikut ini beberapa sifat suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yang lain.
Misalkan N suatu bilangan bulat, maka berlaku : 

- N akan habis dibagi oleh 2, jika bilangan tersebut genap.
- N akan habis dibagi oleh 3, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
- N akan habis dibagi oleh 4, jika dua angka terakhir habis dibagi 4
- N akan habis dibagi oleh 5, jika angka terakhir (angka satuan) nya 0 atau 5
- N akan habis dibagi oleh 8, jika tiga angka terakhirnya habis dibagi 8
- N akan habis dibagi oleh 9, jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 9
- N akan habis dibagi oleh 11, jika selisih jumlah bilangan pada posisi genap dengan pada posisi ganjil habis dibagi 11
- N akan habis dibagi oleh  jika angka terakhirnya habis dibagi oleh .
- N akan habis dibagi oleh  jika angka terakhirnya habis dibagi oleh

Contoh soal OSN matematika bab keterbagian :
Diketahui a679b merupakan bilangan bulat lima digit. Jika bilangan tersebut habis dibagi oleh 72, tentukan nilai dari a dan b. (Canadian Mathematical Olympiad 1980)

Penyelesaian:

Jelas 72 = 8×9, serta 8 dan 9 saling relatif prima

Maka bilangan tersebut habis dibagi 8 dan 9.
Karena habis dibagi , maka tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 9. Berarti, 79b habis dibagi 8. Ternyata yang memenuhi hanya b = 2.

Berikutnya, a679b juga habis dibagi 9. Maka agar habis dibagi 9, jumlah digit-digitnya haruslah habis dibagi 9. Jumlah digitnya adalah a + 6 + 7 + 9 + 2 = 24 + a. Agar 24 + a habis dibagi 9, maka yang memenuhi hanya a = 3.

5. Prinsip Pengisian Tempat (Pigeonhole Principle)

Prinsip ini sangat sederhana, namun sangat sering digunakan dalam pembuktian pernyataan matematika, terutama dalam bidang kombinatorika.
Prinsip pengisian tempat atau pigeon hole principle sering disebut juga dengan prinsip rumah merpati atau prinsip rumah burung. 

Prinsip pengisian tempat atau Pigeonhole principle 

Jika terdapat n rumah (lubang) merpati dan ada sebanyak m merpati yang akan masuk ke rumah tersebut, dengan m > n, maka akan terdapat sedikitnya 1 lubang yang berisi lebih dari 1 merpati.

Contoh:
1. Buktikan bahwa untuk setiap 8 orang, akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama.

Bukti:
Karena jumlah hari ada 7 dan jumlah orangnya ada 8 orang, maka akan terdapat minimal 2 orang yang lahir pada hari yang sama.

2. Di dalam sebuah kotak terdapat 5 pasang kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah. Berapa banyak kaos kaki yang harus diambil dari dalam kotak tanpa melihat terlebih dahulu, agar dapat dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama.

Penyelesaian:
Agar didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama dari 5 warna kaos kaki, maka kita harus mengambil minimal 6 buah kaos kaki, sehingga dapat dipastikan akan didapat sepasang kaos kaki yang berwarna sama, sesuai dengan prinsip pengisian rumah burung.

Seandainya kita hanya mengambil 5 buah kaos kaki, ada kemungkinan yang kita dapat masing-masing 1 kaos kaki berwarna hitam, kuning, putih, biru, dan merah, sehingga kita tidak mendapatkan sepasang kaos kaki yang berwarna sama.

6. Teorema Eratosthenes

Teorema Erathosthenes adalah salah satu teorema yang sering dipakai dalam pembuktian teori bilangan terutama yang berkaitan dengan bilangan prima. Secara ringkas penggunaan Teorema Erathosthenes adalah untuk mempermudah menentukan suatu bilangan sembarang yang termasuk ke dalam bilangan prima atau komposit.

Teorema Erathosthenes:

Suatu bilangan N adalah bilangan prima jika tidak ada bilangan prima p yang lebih kecil dari () yang habis membagi N.

Teorema ini sering juga disebut dengan Sieve of Eratosthenes.
Contoh:
- Bilangan 43 merupakan bilangan prima, karena 2, 3, dan 5 tidak habis membagi 43.

- Bilangan 2011 merupakan bilangan prima, karena 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 39, 31, 37, 41, dan 43 tidak habis membagi 2011.

- Bilangan 289 bukan bilangan prima karena jika kita membagi 289 dengan 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17, ternyata 17 habis membagi 289 (17 x 17 = 289).

Catatan:
Pengertian bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

7. Persamaan Diophantine

Persamaan Diophantine merupakan persamaan yang solusinya harus berada di himpunan bilangan bulat. Koefisien persamaan ini juga harus bilangan bulat.

Sebagai contoh,

Persamaan Diophantine diperkenalkan oleh matematikawan Yunani bernama Diophantus.
Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat.
Contoh Persamaan diophantine ax+by=c: 2x+4y= 26.

Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd (a,b) membagi c.
Bukti: Bisa dilihat di GCD (algoritma Eulid). Di sana dinyatakan bahwa: ax+by = \text{gcd (a,b)} . Jadi, c merupakan kelipatan dari gcd (a,b).

Contoh Soal:
Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut: 15x+ 6y=189

Penyelesaian:
Menentukan nilai gcd-nya : 15 = 6 x 2 + 3 dan 6 = 3 x 2 + 0.
Sisa terakhir adalah gcd-nya. Jadi, gcd (15,6) = 3.
Jelas 189 itu habis dibagi 3. Atau biasa ditulis 3 | 189. Artinya, persamaan itu punya solusi x dan y.
3 = 15 - 6 x 2
3 = 1 x 15 - 2 x 6 (dikali 63)
189 = 63 x 15 - 126 x 6
Jadi ditemukan 1 solusi, yaitu x = 63 dan y = -126 (lihat bentuk gcd(a,b)=ax +by).
Menemukan semua solusi:
Tentukan gradien: m= -15/6 = -5/2.
Jelas bahwa jika suatu titik ditambah dengan gradien, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga.
Jadi didapat semua solusi dalam bentuk parameter k:
y = -126 - 5 k
x = 63 + 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.
Masukkan sembarang bilangan k, misalnya k= 30.
Maka: y = -126 + 5.30 = 24
dan x = 63 - 2.30 = 3.
Jadi persamaannya menjadi :
y = 24 + 5k dan  x = 3 - 2k, untuk k sebarang bilangan bulat.

Namun tidak semua persamaan Diophantine mempunyai solusi.
Contoh:
Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan berikut: 15x+ 6y=190.

Penyelesaian:
Menentukan nilai gcdnya : gcd (15,6) = 3.
Jelas 190 tidak habis dibagi 3.
Jadi persamaan di atas tidak mempunyai solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.

8. Teorema Dasar Aritmatika

Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa bilangan bulat yang lebih besar dari 1 merupakan bilangan prima atau dapat dibentuk dengan mengalikan beberapa bilangan prima sekaligus.

Contoh:

• 2 adalah bilangan prima
• 3 adalah bilangan prima
• 4 = 2 x 2
• 5 adalah bilangan prima
• 18 = 2 x 3 x 3
• 100 = 2 x 2 x 5 x 5
• 208 = 2 x 2 x 2 x 2 x 13

Jadi, setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 pasti merupakan bilangan prima atau dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian beberapa bilangan prima.

Demikianlah beberapa teorema dan rumus-rumus matematika yang berkenaan dengan materi OSN matematika SMA. Beberapa yang saya bagikan di atas terutama adalah untuk mengenalkan tentang tipe soal bab teori bilangan yang secara eksplisit tidak diajarkan secara langsung di bangku SMA.
Selamat belajar dan terus berlatih, karena kunci kesuksesan mengerjakan tipe-tipe soal OSN adalah latihan yang berulang dan rutin untuk tipe soal sejenis. Terima kasih sudah berkunjung dan membaca Materi OSN Matematika SMA, semoga ada manfaat yang bisa diambil. Salam.

Dapatkan artikel terbaru: