Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Kuadrat
G: Anak-anak, hari ini saya mempunyai sesuatu yang menarik untuk kalian pecahkan
G: Apa itu Pak?
G: x2 + 2x – 8 = 0.
A: Makhluk apa itu Pak? Disuruh ngapain?
G: Sebuah persamaan. Silahkan kalian temukan nilai x!
A: Saya sudah menemukannya Pak
G: Bagus, sangat kreatif dan lucu
A: Hahahaha....
G: Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan x2 + 2x – 8 = 0.
A: Maksudnya mencari nilai x yang tepat agar ruas kiri sama dengan ruas kanan?
G: Nah, itu paham..
A: Sebentar Pak, apakah sama antara x2 dengan 2x?
G: x2 itu adalah x*x sedangkan 2x itu adalah 2*x.
A: Oh...jadi beda ya.
A: Bisakah membuat ruas kiri hanya "x" saja Pak?
G: Silahkan kamu coba
A:
x2 + 2x – 8 = 0 ~ tambahkan 8 ke ruas kiri dan ruas kanan
x2 + 2x = 8 ~ faktorkan ruas kiri
x (x + 2) = 8
G: Bagus!
A: Jadi saya harus menemukan 2 bilangan yang hasil kalinya 8 dan selisihnya 2.
G: Nah...
A: 2 * 4 = 8.
G: Cerdas kamu!
A: dan (-2) * (-4) = 8.
G: -2 dan -4 selisihnya adalah 2, sippp...
A: Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = -4.
G: Jenius, coba saya cek lebih dulu
untuk x=2 maka 22 + 2*2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0. Cocok!
A: Coba yang satunya lagi Pak
G: Baik. (-4)2 + 2*(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0. Wow!
A: Baguuusss...
G: Saya belum pernah menemui penyelesaian soal persamaan kuadrat sebrilian ini!
A: Apa tadi Bapak menyebutnya, persamaan kuadrat?
G: Iya. Disebut persamaan kuadrat karena ada x2 . Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0.
A: Apa itu a, b, dan c Pak?
G: a itu menunjukkan seberapa banyak x2 yang kamu punya.
A: Jadi, yang baru saja kita selesaikan tadi adalah persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 2, and c = 8?
G: Hampir tepat. c = -8, bukan 8.
A: Oh, iya
G: a, b, dan c dalam hal ini disebut sebagai koefisien.
A: Lagi Pak, lagi. Coba persamaan kuadrat yang lain!
G: Sebentar ya, saya mau minum dulu.
Lima menit kemudian...
G: Bagaimana, sampai mana tadi?
A: Bapak turun di mana?
G: :) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 2x – 9 = 0.
A: Caranya sama dengan yang tadi Pak?
G: Iya
A: Jadi begini:
x2 + 2x – 9 = 0 ~ tambahkan 9 ke tiap ruas
x2 + 2x = 9 ~ faktorkan ruas kiri
x * (x + 2) = 9
G: Bagus, lanjuttt!
A: 2 * 4 = 8 and 3 * 5 = 15 maka nilai x lebih dekat pada 2 daripada 3.
G: Menarik ini..
A: Sekarang kalau saya coba x=2.1 maka 2.1 * 4.1 = 8.61
G: Hampir mendekati!
A: 2.2 * 4.2 = 9.24. Nah, jawabannya pasti diantara 2.1 and 2.2.
G: Excellent! Oiya, tadi di awal siapa yang bertanya bisakah mendapatkan x saja pada ruas kiri?
A: Saya pak
G: Nah, bagaimana kalau persamaan tadi, tiap ruas dibagi dengan (x + 2). Apa yang kamu dapat?
A: x = 9/(x + 2).
A: Lalu apa?
...
A: Bagaimana kalau kita gambar menggunakan GeoGebra Pak?
G: Nanti dulu ya..
A: Makanan apa itu GeoGebra?
A: Ketikkan soalnya di WolframAlpha.com kemudian enter malah lebih simpel
A: Apa itu wolfram??
A: Alamat website untuk menyelesaikan soal matematika
G: Wow, kelihatannya menarik!
G: Tapi itu besok saja. Hari ini kita harus bisa menemukan solusi dari permasalahan persamaan kuadrat tadi tanpa menggunakan kalkulator, GeoGebra, WolframAlpha ataupun excel.
A: Sudah mentok Pak.
G: Mari kita coba lagi, siapa tahu beruntung.
A: Ada cara lain yang lebih mudah Pak?
G: Idenya begini. Jadi, selain menambah, mengurangi, mengali dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, kita juga bisa menarik akar kuadrat.
A: Maksudnya?
G: Jika soalnya saya sederhanakan menjadi x2 = 9 dapatkah kamu menyelesaikannya?
A: 3 kuadrat sama dengan 9. Jadi nilai x=3.
G: Bagaimana dengan x=-3?
A: Oh iya. -3 kuadrat juga sama dengan 9. Jadi x = 3 atau x = -3.
G: Nah, sekarang kita beranjak ke yang sedikit lebih rumit ketimbang x2 = 9.
A: Soal yang tadi Pak, x2 + 2x – 9 = 0.
G: Berapakah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 9?
A: Blank Pak. Bagaimana membuatnya menjadi bentuk akar?
G: Sekarang saya tanya, bagaimana dengan x2 + 2x + 1?
A: Sama saja Pak. Bagaimana menemukan angka yang pas untuk soal itu
G: Mungkin bukan angka. Coba kalau x + 1?
A: (x + 1)2 = x2 + 1.
G: Bagaimana caramu menemukannya?
A: x kuadrat sama dengan x2 dan 1 kuadrat sama dengan 1.
G: Oh. Coba sekarang kamu cek dengan mengalikan (x + 1) dengan (x + 1).
A: Baik Pak. (x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1.
G: Apakah hasilnya sama dengan jawabanmu di awal tadi?
A: Beda Pak. Yang di awal tadi salah.
G: Sip...
A: Tapi soalnya adalah x2 + 2x -9 bukan x2 + 2x + 1!
G: Ah, tidak masalah. Bisa diakali!
A: Apa nggak dosa Pak?
G: Insya Allah halal.
A: Amiin..!
G: Jadi begini: x2 + 2x – 9 = x2 + 2x + 1 – 10 = (x + 1)2 – 10.
A: Kok jadi tambah rumit? Malah ada -10.
G: Tambahkan 10 ke tiap ruas, dan sim salabim... berubah menjadi (x + 1)2= 10.
A: Nah, saya tahu. Sekarang tarik akar kuadrat di tiap ruas!
G: Menjadi x + 1 = √10 atau x + 1 = -√10.
A: Kenapa ada -√10?
G: Apa kamu lupa dengan -3 kuadrat sama dengan 3 kuadrat?
A: Eh, iya.
G: Jadi solusi dari persamaan kuadrat tadi adalah x = √10 – 1 atau x = -√10 – 1.
A: Horee...!
G: Horee...!
A: Akhirnya selesai juga.
A: Makan-makan..
Catatan:
1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0
Contoh :
a. x2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8) => x = -4 atau x = -8
b. x2 + x – 56 = 0 => (x + 8) (x – 7) => x = -8 atau x = 7
c. x2 -6x – 27 = 0 => (x – 9) (x + 3) => x = 9 atau x = -3
d. 2x2 – 5x – 3 = 0 => (2x – 1) (x + 3) => x =1/2 atau x = -3
e. 3x2 – 6x = 0 => 3x(x – 2) => x =0 atau x = 2
x2 + 8x = -12
x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2
x2 + 8x + 16 = -12 + 16
(x + 4)2 = 4
x + 4 = ±√4
x = -4 ± 2
3. Rumus ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a
= { -8 ± √(64 – 20) } / 2
G: Apa itu Pak?
G: x2 + 2x – 8 = 0.
A: Makhluk apa itu Pak? Disuruh ngapain?
G: Sebuah persamaan. Silahkan kalian temukan nilai x!
A: Saya sudah menemukannya Pak
G: Bagus, sangat kreatif dan lucu
A: Hahahaha....
G: Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan x2 + 2x – 8 = 0.
A: Maksudnya mencari nilai x yang tepat agar ruas kiri sama dengan ruas kanan?
G: Nah, itu paham..
A: Sebentar Pak, apakah sama antara x2 dengan 2x?
G: x2 itu adalah x*x sedangkan 2x itu adalah 2*x.
A: Oh...jadi beda ya.
A: Bisakah membuat ruas kiri hanya "x" saja Pak?
G: Silahkan kamu coba
A:
x2 + 2x – 8 = 0 ~ tambahkan 8 ke ruas kiri dan ruas kanan
x2 + 2x = 8 ~ faktorkan ruas kiri
x (x + 2) = 8
G: Bagus!
A: Jadi saya harus menemukan 2 bilangan yang hasil kalinya 8 dan selisihnya 2.
G: Nah...
A: 2 * 4 = 8.
G: Cerdas kamu!
A: dan (-2) * (-4) = 8.
G: -2 dan -4 selisihnya adalah 2, sippp...
A: Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = -4.
G: Jenius, coba saya cek lebih dulu
untuk x=2 maka 22 + 2*2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0. Cocok!
A: Coba yang satunya lagi Pak
G: Baik. (-4)2 + 2*(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0. Wow!
A: Baguuusss...
G: Saya belum pernah menemui penyelesaian soal persamaan kuadrat sebrilian ini!
A: Apa tadi Bapak menyebutnya, persamaan kuadrat?
G: Iya. Disebut persamaan kuadrat karena ada x2 . Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0.
A: Apa itu a, b, dan c Pak?
G: a itu menunjukkan seberapa banyak x2 yang kamu punya.
A: Jadi, yang baru saja kita selesaikan tadi adalah persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 2, and c = 8?
G: Hampir tepat. c = -8, bukan 8.
A: Oh, iya
G: a, b, dan c dalam hal ini disebut sebagai koefisien.
A: Lagi Pak, lagi. Coba persamaan kuadrat yang lain!
G: Sebentar ya, saya mau minum dulu.
Lima menit kemudian...
G: Bagaimana, sampai mana tadi?
A: Bapak turun di mana?
G: :) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 2x – 9 = 0.
A: Caranya sama dengan yang tadi Pak?
G: Iya
A: Jadi begini:
x2 + 2x – 9 = 0 ~ tambahkan 9 ke tiap ruas
x2 + 2x = 9 ~ faktorkan ruas kiri
x * (x + 2) = 9
G: Bagus, lanjuttt!
A: 2 * 4 = 8 and 3 * 5 = 15 maka nilai x lebih dekat pada 2 daripada 3.
G: Menarik ini..
A: Sekarang kalau saya coba x=2.1 maka 2.1 * 4.1 = 8.61
G: Hampir mendekati!
A: 2.2 * 4.2 = 9.24. Nah, jawabannya pasti diantara 2.1 and 2.2.
G: Excellent! Oiya, tadi di awal siapa yang bertanya bisakah mendapatkan x saja pada ruas kiri?
A: Saya pak
G: Nah, bagaimana kalau persamaan tadi, tiap ruas dibagi dengan (x + 2). Apa yang kamu dapat?
A: x = 9/(x + 2).
A: Lalu apa?
...
A: Bagaimana kalau kita gambar menggunakan GeoGebra Pak?
G: Nanti dulu ya..
A: Makanan apa itu GeoGebra?
A: Ketikkan soalnya di WolframAlpha.com kemudian enter malah lebih simpel
A: Apa itu wolfram??
A: Alamat website untuk menyelesaikan soal matematika
G: Wow, kelihatannya menarik!
G: Tapi itu besok saja. Hari ini kita harus bisa menemukan solusi dari permasalahan persamaan kuadrat tadi tanpa menggunakan kalkulator, GeoGebra, WolframAlpha ataupun excel.
A: Sudah mentok Pak.
G: Mari kita coba lagi, siapa tahu beruntung.
A: Ada cara lain yang lebih mudah Pak?
G: Idenya begini. Jadi, selain menambah, mengurangi, mengali dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, kita juga bisa menarik akar kuadrat.
A: Maksudnya?
G: Jika soalnya saya sederhanakan menjadi x2 = 9 dapatkah kamu menyelesaikannya?
A: 3 kuadrat sama dengan 9. Jadi nilai x=3.
G: Bagaimana dengan x=-3?
A: Oh iya. -3 kuadrat juga sama dengan 9. Jadi x = 3 atau x = -3.
G: Nah, sekarang kita beranjak ke yang sedikit lebih rumit ketimbang x2 = 9.
A: Soal yang tadi Pak, x2 + 2x – 9 = 0.
G: Berapakah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 9?
A: Blank Pak. Bagaimana membuatnya menjadi bentuk akar?
G: Sekarang saya tanya, bagaimana dengan x2 + 2x + 1?
A: Sama saja Pak. Bagaimana menemukan angka yang pas untuk soal itu
G: Mungkin bukan angka. Coba kalau x + 1?
A: (x + 1)2 = x2 + 1.
G: Bagaimana caramu menemukannya?
A: x kuadrat sama dengan x2 dan 1 kuadrat sama dengan 1.
G: Oh. Coba sekarang kamu cek dengan mengalikan (x + 1) dengan (x + 1).
A: Baik Pak. (x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1.
G: Apakah hasilnya sama dengan jawabanmu di awal tadi?
A: Beda Pak. Yang di awal tadi salah.
G: Sip...
A: Tapi soalnya adalah x2 + 2x -9 bukan x2 + 2x + 1!
G: Ah, tidak masalah. Bisa diakali!
A: Apa nggak dosa Pak?
G: Insya Allah halal.
A: Amiin..!
G: Jadi begini: x2 + 2x – 9 = x2 + 2x + 1 – 10 = (x + 1)2 – 10.
A: Kok jadi tambah rumit? Malah ada -10.
G: Tambahkan 10 ke tiap ruas, dan sim salabim... berubah menjadi (x + 1)2= 10.
A: Nah, saya tahu. Sekarang tarik akar kuadrat di tiap ruas!
G: Menjadi x + 1 = √10 atau x + 1 = -√10.
A: Kenapa ada -√10?
G: Apa kamu lupa dengan -3 kuadrat sama dengan 3 kuadrat?
A: Eh, iya.
G: Jadi solusi dari persamaan kuadrat tadi adalah x = √10 – 1 atau x = -√10 – 1.
A: Horee...!
G: Horee...!
A: Akhirnya selesai juga.
A: Makan-makan..
Catatan:
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0 (a,b,c € R) dan a ≠ 0Cara menyelesaikan persamaan kuadrat
1. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
2. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
3. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ABC
2. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
3. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ABC
1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0
Contoh :
a. x2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8) => x = -4 atau x = -8
e. 3x2 – 6x = 0 => 3x(x – 2) => x =0 atau x = 2
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)2 = q
Langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna yaitu :
1. Koefisien x2 harus 1
2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx = n
3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q
Contoh :
a. x2 + 8x + 12 = 0
x2 + 8x = -12
x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2
x2 + 8x + 16 = -12 + 16
(x + 4)2 = 4
x + 4 = ±√4
x = -4 ± 2
x = -6 , -2
3. Rumus ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a
Contoh :
a. x2 + 8x + 5 => x1,2 = { -8 ± √(82 – 4.1.5) } / 2.1
= { -8 ± √(64 – 20) } / 2
= ( -8 ± √39 ) / 2
Penjumlahan dan perkalian akar penyelesaian persamaan kuadrat
dari x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a dengan D = b2 - 4ac maka x1 = (-b + √D) / 2a dan x2 = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan
1. x1 + x2 = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}
= (-b + √D - b - √D) / 2a
= -2b / 2a
= -b /a
Jadi, x1 + x2 = -b/a
2. x1 - x2 = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}
= (-b + √D + b + √D) / 2a
= 2√D / 2a
= √D /a
Jadi, x1 - x2 = √D/a
3. x1 . x2 = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}
= (b2 - D) / 4a2
= b2 - (b2 - 4ac) / 4a2
= (b2 - b2 + 4ac) / 4a2
= 4ac / 4a2
= c/a
Jadi, x1 . x2 = c/a
4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
(x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)
5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
(x1 + x2)3 - 3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23
(x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2) = x13 + x23
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
(x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)
5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
(x1 + x2)3 - 3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23
(x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2) = x13 + x23
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
contoh soal!
1. Persamaan kuadrat -2x2 +4x-5=0 akar2nya α dan β
Tentukan : a. α + β d. α3 + β3
b. α . β e. 1/α + 1/β
c. α2 + β2 f. 1/(α+2) + 1/(β+2)
Jawaban :
a. α + β = -b/a = 2
b. α . β = c/a = 5/2
c. α2 + β2 = (α + β)2 - 2(α . β)
= 22 - 2.5/2
= 4 - 5
= -1
d. α3 + β3 = (α + β)3 - 3α.β (α+β )
= 23 - 3.5/2.2
= 8 - 15
= -7
e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ
= 2 / (5/2)
= 4/5
f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}
= {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}
= (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)
= 6 / (21/2)
= 12/21
= 4/7
Salam kak, post rpp matematika peminatan kelas x dong kak edisi revisi
ReplyDelete