Materi Matematika SMP : Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Selamat datang di kelas matematika online, tempat anda belajar matematika secara online, mudah dan kapan saja. Kali ini kita akan membahas tentang materi matematika SMP yaitu bab Persamaan Kuadrat.

Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat dan Contohnya

Sebelum kita menentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, lebih baik kita mengetahui terlebih dahulu bentuk umum persamaan kuadrat. 

Persamaan kuadrat biasa ditulis dengan ax2– bx – c =0, a ≠0.

Dalam persamaan tersebut nilai a tidak boleh sama dengan 0, karena jika a = 0, maka akan menjadi persamaan garis lurus/persamaan linier. Dimana b sebagai gradien.

Jenis Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus D = b2 - 4ac. (D: diskriminan). Jika terbentuk nilai D maka dengan mudah kita menemukan akar-akarnya. Berikut beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum.

1. Akar Real ( D ≥ 0 )
Akar real berlainan bila D > 0

Contoh :

Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 4x + 2 = 0 !
Jawab :

Dari persamaan x2 + 4x + 2 = 0 diketahui : a=1; b=4; c=2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4(1)(2)    
D = 16 - 8     D = 8       ( D>8, maka akarnya merupakan akar real tapi berbeda )      

Akar real sama x1 = x2 bila D = 0

Contoh :
Buktikan bahwa 2x2 + 4x + 2 = 0 memiliki akar real kembar!
Jawab :

Dari persamaan 2x2 + 4x + 2 = 0 diketahui : a=2; b=4; c=2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4(2)(2)    
D = 16 - 16     D = 0       ( D=0, terbukti bahwa akar real dan kembar )

Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 2x + 4 = 0 !
Jawab :

Dari persamaan x2 + 2x + 4 = 0 diketahui : a=1; b=2; c=4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4(1)(4)    
D = 4 - 16     D = -12      ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )

Akar Rasional ( D = k2 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 4x + 3 = 0
Jawab :

Dari persamaan x2 + 4x + 3 = 0 diketahui : a=1; b=4; c=3
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4(1)(3)    
D = 16 - 12     D = 4 = 22 = k2   ( Karena D=k2=4 maka akar persamaan adalah akar rasional )

Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Sebelum menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, kita wajib ketahui terlebih dahulu sifat sifatnya. Sifat yang dimaksud adalah akar negatif, positif, berlawanan, berbeda tanda atau berkebalikan. Selain mencari nilai D, kita juga harus mencari penjumlahan dan perkalian akar suatu persamaan kuadrat. Rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

Berikut Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

1. Dua Akar Positif ( x₁>0 dan x₂>0 )
Akar-akar persamaan kuadrat dikatakan positif jika :

- D≥0
- x₁ > x₂ > 0
- x_1 . x₂ > 0

2. Dua Akar Negatif ( x₁<0 dan x₂<0 )
Akar-akar persamaan dikatakan negatif jika :

- D≥0
- x₁ > x₂ < 0
- x_1 . x₂ < 0

3. Sama Besar Berlawanan Tandan ( x₁ = -x₂ )
Bila suatu persamaan kuadrat dengan b = 0 atau memiliki bentuk ax² +  c = 0, maka akar-akarnya akan memiliki nilai yang sama dan berlawanan tanda.

4. Akar Berkebalikan ( x₁ = ¹/x₂ )
Dalam hal ini, akar akan x₁ berupa kebalikan dari akar x₂jika suatu persamaan kuadrat  nila a = c.

5. Dua Akar Berlainan Tanda ( Salah satu akar negatif )
Dalam hal ini berarti salah satu akar memiliki tanda positif dan satunya negatif apabila perkalian keduanya bernilai negatif ( x_1 . x₂ < 0 )

Contoh Soal :
Tentukan jumlah ( x_1 + x₂ )dan hasil kali ( x_1 . x₂ )akar-akar persamaan x² + 10x + 25 = 0 !

Jawab :
nilai a = 1, b = 10, c = 25, maka :

x1 + x2 = -b/a         |  x1 . x2 = c/ax1 + x2 = -10/1       |              = 25/1
x1 + x2 = - 10    |      = 25

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat

Setelah kita mengetahui pengertian dasar, jenis-jenis persamaan kuadrat, dan cara mencari jumlah dan hasil kalinya, kita akan dihadapkan pada materi selanjutnya yaitu menyusun persamaan kuadrat. Ini sangat mudah, asalkan kita teliti dalam mengerjakannya.

Terdapat dua macam masalah dalam menyusun persamaan kuadrat, yakni persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2. Juga persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar persamaan kuadrat lainnya. Mari langsung ke materi!

1. Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya x1 dan x2

Untuk menyusun persamaan jenis ini, kita akan menggunakan dua macam rumus, yakni :

Contoh Soal :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 = 2/3 dan x2 = -5 !

Jawab :

2. Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Berhubungan dengan Persamaan Lainnya

Kita misalkan bahwa x₁ dan x₂ akar-akar dari ax²+ bx + c = 0, sedangkan y₁ dan y₂ akar-akar persamaan kuadrat baru dimana y₁ = kx₁ dan y₁ = kx₂ , maka untuk menentukan persamaan baru itu perlu dua cara utama, yakni :

Demikian pembahasan tentang materi persamaan kuadrat. Semoga ada manfaatnya.

Dapatkan artikel terbaru: