Rumus Barisan dan Deret Soal dan Pembahasan

Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan-bilangan yang mempunyai aturan / pola tertentu
Deret adalah jumlah bilangan dalam suatu barisan

A. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

Adalah barisan bilangan yang selisih dua suku yang berurutan selalu sama ( tetap ). Selisih yang tetap tersebut dinamakan beda dan disimbolkan dengan b .

Contoh 1
a) 2, 4, 6, 8, …. adl barisan aritmatika dg suku pertama = 2 dan beda ( b ) = 4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 2
b) 13, 9, 5, 1, …. adl barisan aritmatika dg suku pertama = 13 dan beda ( b ) = 9 – 13 = 5 – 9 = – 4
c) 2, 2, 4, 3, … bukan barisan aritmatika sebab 2– 2 4 – 2 3– 4

Jika suku pertama suatu barisan aritmatika =U1 , Suku kedua =U2 , dan Suku ketiga =U3 maka Suku ke-n =Un maka rumus umum suku ke-n adalah :
U1= a
U2= a + b
U3= a + 2b
Un= Suku ke-n
a = Suku pertama
b = beda barisan

Contoh 2
Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku keenam dari barisan berikut :
a. 1, 4, 7, 10, ....
b. 12, 8, 4, 0, ....

Jawab
a. 1, 4, 7, 10, ....
a = 1, b = 4 – 1 = 7 – 4 = 3
= 1 + ( n – 1 ) 3
= 1 + 3n – 3
= 3n – 2
= 3.6 – 2
= 18 – 2 = 16

Contoh 3
Diketahui barisan aritmatika : 3, 7, 11, 15, ....
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n nya !
b. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 83 !

Jawab
a. 3, 7, 11, 15, ....
a = 3, b = 11 – 7 = 4
= 3 + ( 10 – 1 ) 4
= 3 + 36
= 39
= 3 + ( n – 1 ).4
= 3 + 4 n – 4 = 4n – 1

Contoh 4
Suku ketiga dari suatu barisan aritmatika adalah 8, sedangkan suku ke-9 nya sama dengan 26.
a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmatika ini
b. Carilah rumus untuk suku ke-n
c. Carilah suku ke-15 dan suku ke-20

Jawab
a. a + 2b = 8 ... 1)
a + 8b = 26 ... 2)
–6b= –18
b= 3

Dari 1) diperoleh a + 2.3 = 8 a = 2
Jadi suku pertama = 2 dan beda = 3
= 2 + ( n – 1 ).3
= 2 + 3 n – 3 = 3n – 1

Deret Aritmatika

Adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika

Jika U1, U2, U3, U4 , ... , adalah barisan aritmatika, maka Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah: Sn= n/2(a+Un)
Un= Suku ke-n
a = Suku pertama
b = beda barisan

Contoh 5
Diketahui barisan aritmatika : 1, 3, 5, 7, ....
a. Tentukan rumus Jumlah n suku pertama nya !
b. Tentukan Jumlah 6 suku pertamanya !

Jawab
a. 1, 3, 5, 7, ....
a = 1, b = 3 – 1 = 2

Contoh 6
Hitunglah nilai dari : 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11
Jawab
1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11
a = 1, b = 3 – 1 = 2, = 11
= 11
a + ( n – 1 ).b = 11
1 + ( n – 1 ).2 = 11
1 + 2 n – 2 = 11
2 n – 1 = 11
2 n = 12
n = 6

Latihan Soal 1

1. Manakah di antara barisan bilangan dibawah ini yang termasuk dalam barisan aritmatika
a) 13, 9, 5, 1, …. e) 36, 18, 9, 4, ….
b) 6, -6, 18, …. f) 100, 90, 80, 70, ….
c) x + 9, 2x + 7, 3x + 5 … . g) 2, 2, 3, 3, ….
d) + 2, 3, 5– 2, .... h) log 4, log 6, l0g 8, ....

2. Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku keenam dari barisan berikut :
a. 1, 3, 5, 7, .... c. 2, –8, –10, ....
b. -2, 2, 6, 10 .... d. 2, 2, 3, 3, ….

3. Suku kedua dari suatu barisan aritmatika sama dengan 21, sedangkan suku keenamnya sama dengan 5.
a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmatika ini
b. Carilah rumus untuk suku ke-n
c. Carilah suku ke-15 dan suku ke-20

4. Carilah nilai suku yang ditanyakan ( dalam tanda kurung ) dari barisan berikut :
a. 3, 8, 13, …. , ( ) c) 2, -11, -24, …. , ( )
b. 2, 6, 10, …. , ( ) d) 55, 50, 45, …. , ( )

5. Ditentukan bilangan asli yang kurang dari 100. Tentukan banyaknya bilangan asli yang habis dibagi 3 !

6. Hitunglah jumlah tiap deret berikut !
a. 2 + 4 + 6 + …. + 50 c. 1 + 3 + 5 + …. + 111
b. 4 + 8 + 12 …. + 248 d. 150 + 145 + 140 + .... + 5

7. Tentukan nilai n jika diketahui :
a. 1 + 2 + 3 + … n = 210 c. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = 900
b. 2 + 4 + 6 + … 2n = 650

8. Tentukan jumlah semua bilangan bulat yang :
a. Terletak antara 10 dan 40 yang habis dibagi 3
b. Terletak antara 100 dan 500 yang habis dibagi 6
c. Terletak antara 1 dan 150 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Adalah suatu barisan dimana perbandingan dua suku yang berurutan selalu sama ( tetap ). Perbandingan tersebut lazimnya disebut dengan pembanding / rasio dan disimbolkan dengan r .

Contoh 6
a. 2, 4, 8, 16, …. adl barisan geometri dg suku pertama = 2 dan rasio ( r ) =
b. 4, 2, 1, , …. adl barisan geometri dg suku pertama = 4 dan rasio ( r ) =
c. 2p, 6, 18, .... adl barisan geometri dg suku pertama = 2p dan rasio ( r ) =
d. 3, 6, 18, 36, .… bukan barisan geometri sebab

Jika suku pertama suatu barisan geometri a =U1 , Suku kedua =U2 , dan Suku ketiga =U3 maka Suku ke-n =Un maka rumus umum suku ke-n adalah : Un=ar^(n-1)
Un= Suku ke-n
a = Suku pertama
r = rasio barisan

Contoh 7
Tentukan suku pertama, rasio dan rumus suku ke-n serta suku keenam dari barisan berikut :
a. 3, 6, 12, 24, ....
b. 27, 9, 3, 1, ....

Jawab
c. 3, 6, 12, 24, ....
a = 3, r =
= 96

Contoh 8
Suku kelima dari suatu barisan geometri adalah 12, sedangkan suku ke-8 nya adalah 96.
a. Carilah suku pertama dan rasio barisan geometri ini !
b. Carilah suku ke-7 nya !

Jawab
a. ... 1)
.. 2)
r = 2

Dari 2) diperoleh
Jadi suku pertama = dan rasio = 2

Deret Geometri

Adalah jumlah dari suatu barisan geometri
Jika , , ... , adalah barisan geometri, maka Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah:
Untuk r > 1
untuk r < 1

Contoh 9
Tentukan Jumlah 10 suku pertama dari barisan geometri : 1, 2, 4, 8, ....

Jawab
1, 2, 4, 8, ....
a = 1, , n = 10, karena r > 1 maka
= = 1023 Jadi Jumlah 10 suku pertamanya adalah 1023

Contoh 10
Hitunglah nilai dari :
Jawab
a = , r = 2, = 12
= 12
n – 1 = 5 , maka n = 6

contoh 11
Hitunglah jumlah sampai delapan suku dari deret geometri : 16 + 8 + 4 + 2 + ....

jawab
a =16, r = , n = 8 dan karena r > 1 maka digunakan rumus :

LATIHAN 2

1. Selidikilah apakah barisan berikut merupakan barisan geometri ) !
a. 4, 6, 9, …. c. 5, -5, 5, -5, …. e. log x, logx, logx, ...
b. 4, 2, 1, , …. d. , –2 , 2, …

2. Tentukan suku pertama, rasio dan suku ketujuh dari tiap barisan geometri berikut :
a. 5, 10, 20, .... c. 2, –4, 8, -16, .... . e. 27, –9, 3, –1, ....
b. 2, 2, 6, .... d. , , ….

3. Suku ketiga dari suatu barisan geometri adalah 36, sedangkan suku kelimaya sama dengan 81. Tentukan suku pertam dan rasionya !

4. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 3, sedangkan suku keempatnya sama dengan 6. Tentukan rumus suku ke-n nya !

5. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari tiap baris / deret geometri berikut :
a. 2 + 4 + 8 + …. c) 2 – 6 + 18 – 54 + ….
b. 2 + + …. d) 1, , , 45, ….

6. Tentukan nilai x jika berlaku :
a. 1 + 3 + 9 + … x = 3280 c. 4 + 2 + 1 + … + = x
b. 128 – 64 + 32 – … + = x d. 1 + + 2 + .... + x = 63 ( 1 + )

7. Diketahui barisan geometri dengan rumus suku ke-n adalah dengan n bilangan asli.
a. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut !
b. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya !
c. Jumlah 6 suku pertamanya

8. Suatu barisan geometri mempunyai suku pertama 8 dan suku ke-n adalah 0,5. Jika =15,5 maka tentukanlah nilai n !
a. 3 + 8 + 13 + … + 93 c. 54 – 18 + 6 – 2 …
b. + + … + 12 d. – 100 – 90 – 80 – 70 + … + 100

9. Pada suatu deret geometri jumlah suku pertama dan ketiga adalah 20. Jumlah suku kedua dan keempat adalah 60. Tentukan jumlah 8 suku pertamanya !