Hasil Bagi 1/0, 0/1, dan 0/0
Hasil pembagian 1/0, 0/1, dan 0/0 | Matematrick.com
Selamat datang para pecinta matematika di blog matematrick. Kali ini kita akan membahas masalah aritmatika, yakni konsep pembagian yang melibatkan bilangan nol. (nol itu termasuk bilangan genap atau ganjil? positif atau negatif?). Ada tiga bentuk pembagian yang melibatkan bilangan nol dan sering menjadi pembahasan para pecinta matematika, yakni bentuk 0/1, 1/0, dan 0/0. Baiklah, mari kita bahas satu per satu.
Contoh:
Ambil sembarang bilangan a ≠ 0. Misalnya b = a ∕ 0. Karena pembagian adalah invers dari perkalian, maka bisa ditulis b ⋅ 0 = a. Padahal kita tahu aturan perkalian sembarang bilangan jika dikalikan 0 hasilnya adalah 0. Jadi b ⋅ 0 = 0 = a. Ini jelas kontradiksi dengan asumsi awal bahwa a ≠ 0 atau dengan kata lain tidak ada nilai b yang memenuhi. Sehingga pembagian a ∕ 0 hasilnya adalah tak terdefinisi.
Catatan:
Ada konteks di mana pembagian dengan nol dapat dianggap sebagai didefinisikan. Sebagai contoh, pembagian dengan nol z ∕ 0 untuk z dalam bilangan kompleks ≠ 0 dalam bidang kompleks yang diperluas didefinisikan sebagai kuantitas yang dikenal sebagai tak hingga. Tetapi, meskipun pernyataan 1 ∕ 0= ∞ diberlakukan tetap saja dalam ruang lingkup itu tidak berlaku invers/kebalikannya, yaitu 1=0 ⋅ ∞.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = 0. Alasannya adalah 0 dibagi bilangan berapapun hasilnya akan tetap 0.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = 1. Alasannya adalah bilangan berapapun dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = tak tentu. Alasannya adalah 0 dikali bilangan berapapun hasilnya akan tetap 0.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = tak terdefinisi. Alasannya adalah pembagian dengan 0 tak terdefinisi.
Manakah jawaban yang paling tepat dari beberapa versi di atas?
Mari kita tengok kembali pengertian pembagian matematika.
Pembagian a ∕ b berarti sebuah bilangan yang ketika dikalikan dengan b akan menghasilkan a. Sebagai contoh, alasan 1 ∕ 0 tidak terdefinisi dikarenakan tidak ada bilangan x berapapun yang menghasilkan 0 ⋅ x = 1.
Untuk kasus 0 ∕ 0 ini berbeda sendiri, karena untuk sembarang nilai x berapapun akan menghasilkan 0 ⋅ x = 0. Oleh karena tidak ada nilai x tunggal pasti yang memenuhi maka pembagian 0 ∕ 0 tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain hasil pembagian 0 ∕ 0 adalah tak terdefinisi.
Sanggahan: Semua bilangan jika dibagi dengan dirinya sendiri sama dengan 1
Jawaban: Pernyataan ini benar untuk sembarang bilangan tidak nol. Tetapi untuk pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.
Sanggahan: 0 dibagi sembarang bilangan sama dengan 0.
Jawaban: Pernyataan ini benar untuk penyebutnya sembarang bilangan selain nol. Tetapi pembagian dengan nol tidak diperbolehkan, berapapun pembilangnya.
Sanggahan: Semua bilangan dibagi dengan 0 sama dengan ∞.
Jawaban: Bahkan untuk nilai p bukan nol, mengatakan p ∕ 0 = ∞ adalah kurang tepat (lihat lagi penjelasan pembagian 1 ∕ 0). Tetapi sanggahan ini masuk akal untuk pembilangnya bukan nol.
Sanggahan: 0 dibagi 0 hasilnya bisa 5 bisa 1 bisa 17 bisa 2, 8 atau tak tentu. Contoh: 0 ∕ 0=5 benar, sebab 5.0 = 0 benar.
Jawaban: Sanggahan ini terlihat masuk akal dilihat dari aturan aritmatika. Tapi hal ini akan sekaligus membuat aturan aritmatika lainnya menjadi tidak masuk akal.
Mari saya berikan contohnya:
0 ∕ 0 + 1/1 = (0.1 + 1.0) ∕ 0.1 (sifat penjumlahan)
0 ∕ 0 + 1/1 = 0 ∕ 0.
Jelas hasil di atas menjadi tidak masuk akal untuk sembarang bilangan real hasil 0 ∕ 0.
Ada banyak contoh kekacauan aritmatika yang diakibatkan oleh pembolehan pembagian dengan penyebut nol. Kasus pembuktian 2=1, kasus 5=2 dan beberapa contoh kontradiksi lainnya yang banyak beredar di internet sebagai bahan 'lucu-lucuan' matematika.
Dampak lain jika pembagian dengan 0 didefinisikan, maka akan terjadi kondisi fatal "division by zero error" pada program komputer.
Selamat datang para pecinta matematika di blog matematrick. Kali ini kita akan membahas masalah aritmatika, yakni konsep pembagian yang melibatkan bilangan nol. (nol itu termasuk bilangan genap atau ganjil? positif atau negatif?). Ada tiga bentuk pembagian yang melibatkan bilangan nol dan sering menjadi pembahasan para pecinta matematika, yakni bentuk 0/1, 1/0, dan 0/0. Baiklah, mari kita bahas satu per satu.
 |
| Hasil Bagi 1/0, 0/1, dan 0/0 |
Berapakah Hasil Bagi 0/1?
Untuk pertanyaan pertama ini sudah cukup jelas. Jawabannya adalah 0. Sebab 1 ⋅ 0 = 0. Dan hal ini tidak bertentangan dengan aturan aritmatika yang manapun.Berapakah Hasil Bagi 1/0?
1 dibagi 0 hasilnya adalah tak terdefinisi. Menggunakan definisi pembagian adalah invers dari perkalian, jelas tidak ada x sembarang bilangan real yang memenuhi persamaan 0 ⋅ x = 1. Alasan lainnya pembagian dengan penyebut nol 'tidak diperbolehkan' karena akan menyebabkan kontradiksi antar aturan aritmatik.Contoh:
Ambil sembarang bilangan a ≠ 0. Misalnya b = a ∕ 0. Karena pembagian adalah invers dari perkalian, maka bisa ditulis b ⋅ 0 = a. Padahal kita tahu aturan perkalian sembarang bilangan jika dikalikan 0 hasilnya adalah 0. Jadi b ⋅ 0 = 0 = a. Ini jelas kontradiksi dengan asumsi awal bahwa a ≠ 0 atau dengan kata lain tidak ada nilai b yang memenuhi. Sehingga pembagian a ∕ 0 hasilnya adalah tak terdefinisi.
Catatan:
Ada konteks di mana pembagian dengan nol dapat dianggap sebagai didefinisikan. Sebagai contoh, pembagian dengan nol z ∕ 0 untuk z dalam bilangan kompleks ≠ 0 dalam bidang kompleks yang diperluas didefinisikan sebagai kuantitas yang dikenal sebagai tak hingga. Tetapi, meskipun pernyataan 1 ∕ 0= ∞ diberlakukan tetap saja dalam ruang lingkup itu tidak berlaku invers/kebalikannya, yaitu 1=0 ⋅ ∞.
Berapakah 0 ∕ 0 ?
Ada beberapa versi jawaban yang saya dapatkan pada saat melontarkan pertanyaan ini ke siswa.Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = 0. Alasannya adalah 0 dibagi bilangan berapapun hasilnya akan tetap 0.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = 1. Alasannya adalah bilangan berapapun dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = tak tentu. Alasannya adalah 0 dikali bilangan berapapun hasilnya akan tetap 0.
Beberapa anak menjawab 0 ∕ 0 = tak terdefinisi. Alasannya adalah pembagian dengan 0 tak terdefinisi.
Manakah jawaban yang paling tepat dari beberapa versi di atas?
Mari kita tengok kembali pengertian pembagian matematika.
Pembagian a ∕ b berarti sebuah bilangan yang ketika dikalikan dengan b akan menghasilkan a. Sebagai contoh, alasan 1 ∕ 0 tidak terdefinisi dikarenakan tidak ada bilangan x berapapun yang menghasilkan 0 ⋅ x = 1.
Untuk kasus 0 ∕ 0 ini berbeda sendiri, karena untuk sembarang nilai x berapapun akan menghasilkan 0 ⋅ x = 0. Oleh karena tidak ada nilai x tunggal pasti yang memenuhi maka pembagian 0 ∕ 0 tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain hasil pembagian 0 ∕ 0 adalah tak terdefinisi.
Berikut ini beberapa sanggahan dan jawabannya.
Sanggahan: Semua bilangan jika dibagi dengan dirinya sendiri sama dengan 1
Jawaban: Pernyataan ini benar untuk sembarang bilangan tidak nol. Tetapi untuk pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.
Sanggahan: 0 dibagi sembarang bilangan sama dengan 0.
Jawaban: Pernyataan ini benar untuk penyebutnya sembarang bilangan selain nol. Tetapi pembagian dengan nol tidak diperbolehkan, berapapun pembilangnya.
Sanggahan: Semua bilangan dibagi dengan 0 sama dengan ∞.
Jawaban: Bahkan untuk nilai p bukan nol, mengatakan p ∕ 0 = ∞ adalah kurang tepat (lihat lagi penjelasan pembagian 1 ∕ 0). Tetapi sanggahan ini masuk akal untuk pembilangnya bukan nol.
Sanggahan: 0 dibagi 0 hasilnya bisa 5 bisa 1 bisa 17 bisa 2, 8 atau tak tentu. Contoh: 0 ∕ 0=5 benar, sebab 5.0 = 0 benar.
Jawaban: Sanggahan ini terlihat masuk akal dilihat dari aturan aritmatika. Tapi hal ini akan sekaligus membuat aturan aritmatika lainnya menjadi tidak masuk akal.
Mari saya berikan contohnya:
0 ∕ 0 + 1/1 = (0.1 + 1.0) ∕ 0.1 (sifat penjumlahan)
0 ∕ 0 + 1/1 = 0 ∕ 0.
Jelas hasil di atas menjadi tidak masuk akal untuk sembarang bilangan real hasil 0 ∕ 0.
Ada banyak contoh kekacauan aritmatika yang diakibatkan oleh pembolehan pembagian dengan penyebut nol. Kasus pembuktian 2=1, kasus 5=2 dan beberapa contoh kontradiksi lainnya yang banyak beredar di internet sebagai bahan 'lucu-lucuan' matematika.
Dampak lain jika pembagian dengan 0 didefinisikan, maka akan terjadi kondisi fatal "division by zero error" pada program komputer.
Berapakah hasil dari 0:0?
Bayangkan anda mempunyai 0 permen dan akan anda bagi pada 0 teman anda. Berapa banyak permen yang diterima oleh tiap orang?Silakan dibaca juga: Mengenal nilai Phi dalam matematika
Jelas ini tidak jelas--dan membingungkan.
Anak-anak akan sedih karena tidak ada permen. Lebih sedih lagi anda yang ternyata tidak punya teman.
Maka untuk menghindari kekacauan aturan aritmatika seperti contoh di atas, hasil pembagian 0 ∕ 0 adalah tak terdefinisi.
Bagaimana para pembaca, sudah jelaskan dengan persoalan pembagian yang melibatkan bilangan nol? Terima kasih sudah berkenan mampir dan membaca sampai tuntas. Jika masih ada persoalan atau ada tulisan yang dirasa kurang tepat mari kita diskusikan..
This comment has been removed by the author.
ReplyDeletePerimisi jika dalam soal kalkulus hasilnya tanpa pemfaktoran adalah 0/4 apakah masih tidak bertentangan dengan aritmatika?
ReplyDelete0/4 ada hasilnya, yaitu 0. jadi tidak ada masalah.
Delete"Aku tidak mempunyai apapun atau siapapun untuk kubagikan sebuah apel ini bahkan terhadap diriku sendiri..." Ungkapan sederhana tentang 1/0 kira-kira.
ReplyDelete0/1=0 karena 0=1x0, artinya 0/0=1. Loh kok bertabrakan jadinya? Harusnya 0/1= tak terhingga.
ReplyDelete