Cara Cepat Menentukan Determinan Matriks 5x5

Pada kesempatan ini kita akan membahas metode menentukan determinan matriks 5x5 dan seterusnya dengan cara yang paling gampang dan sederhana. Mungkin anda sudah familiar dengan Metode Kofaktor atau Kaidah Sarrus untuk menentukan nilai determinan matriks, termasuk juga metode reduksi baris/ operasi baris elementer (OBE) untuk mencari determinan dan invers matriks. 

Metode yang disebutkan di atas kadang bisa membingungkan dan cukup panjang ketika diterapkan untuk ukuran matriks yang cukup besar. Belum lagi harus paham istilah-istilah seperti kofaktor, minor, transpose matriks, dan adjoin matriks. Nah, metode yang akan kita bahas kali ini adalah Metode Kondensasi Dodgson. Tapi sebelum lebih jauh mari kita mengingat determinan matriks mulai dari yang sederhana terlebih dahulu.

Cara Menentukan Determinan Matriks 2x2

Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2×2 dengan bentuk 

Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal samping (sekunder). Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.

Contoh Soal Menentukan Determinan Matriks 2x2

Diketahui matriks-matriks  dan  Tentukan determinan dari matriks-matriks tersebut!

Pembahasan:

Cara Menentukan Determinan Matriks 3x3

Ada 2 cara yang biasanya dikenalkan oleh Bapak/Ibu Guru di sekolah, yaitu Metode Kofaktor dan Aturan Sarrus. Kita akan bahas yang Aturan Sarrus saja, karena metode kofaktor terlalu panjang untuk ditulis lengkap.

Langkah-langkah Aturan Sarrus

Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:

1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (Du)
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (Ds)
4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.

Lihat ilustrasi berikut:

Misal Matriks A adalah Matriks persegi berukuran 3x3 dengan bentuk:

Nilai determinan dari matriks 𝐴 biasa ditulis det 𝐴, atau |𝐴| ditentukan dengan rumus:

Contoh Soal Menentukan Determinan Matriks 3x3

Diketahui matriks 3x3 seperti ditunjukkan di bawah ini. Tentukan nilai determinannya!

Penyelesaian:

Jadi nilai determinan matriks A adalah 21.

Menentukan Determinan Matriks nxn

Untuk menentukan determinan matriks 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, atau lebih besar dari itu kita akan menggunakan metode yang lebih simpel, yaitu Metode Kondensasi Dodgson (Dodgson Condensation Method). Metode ini sangat ampuh untuk menghitung determinan matriks dengan jumlah baris dan kolom yang banyak (tentunya pada saat sebelum ada kalkulator/komputer).

Langkah-langkah Metode Kondensasi Dodgson

Sebelum membahas langkah-langkahnya, ada baiknya kita pahami dulu definisi dari istilah matriks dalam (interior of matriks).

Misal sebuah matriks A dengan ukuran lebih besar atau sama dengan 3×3. Matriks dalam A (interior matriks A) adalah matriks (n-2)x(n-2), yang didapat dari penghilangan baris awal dan akhir serta kolom awal dan akhir dari matriks A.

Ada 4 langkah menentukan Determinan Matriks menggunakan Metode Kondensasi Dodgson.

1. Gunakan metode operasi baris dan kolom untuk menghilangkan nol dari matriks dalam (interior).
2. Cari determinan matriks 2×2 untuk tiap-tiap empat elemen untuk membentuk matriks baru berukuran lebih kecil (n-1)x(n-1), misalnya diberi nama matriks B.
3. Ulangi langkah sebelumnya untuk matriks (n-2)x(n-2) lalu bagi tiap elemen menurut interior original matriks A, untuk memperoleh matriks C.
4. Lanjutkan terus “kondensasi” di atas sampai hasil satuan ditemukan. Nilai ini merupakan determinan dari matriks A.

Mari kita pahami bersama melalui sebuah contoh.

Contoh Soal Menentukan Determinan Matriks 5x5

Diketahui matriks A.

Tentukan determinan dari matriks A!

Penyelesaian:

Perhatikan interior matriks A berikut:

Karena tidak ada nol di interior, kita bisa langsung ke langkah 2, yaitu mencari determinan matriks 2×2 untuk tiap-tiap empat elemen matriks A dan membentuk matriks baru berukuran 4x4, kita namakan matriks B.

(penjelasan: 14 didapat dari (2×1)-(-3×4), 5 didapat dari (-3×-2)-(1×1), dan seterusnya)

Selanjutnya langkah ketiga, meneruskan kondensasi untuk menghasilkan matriks 3×3.

Sebelum melanjutkan proses kondensasi, terlebih dahulu kita bagi tiap unsur dari matriks 3×3 ini dengan interior matriks A dengan cara membagi unsur-unsur yang berkorespondensi atau seletak.

dibagi dengan 

(penjelasan: 21 dibagi 1, 16 dibagi -2, -33 dibagi -3 dan seterusnya) 

akan menghasilkan matriks C

Kemudian lanjutkan kondensasi untuk mendapatkan matriks 2x2.

Seperti proses sebelumnya, kita perlu membagi matriks 2x2 ini dengan interior matriks B.

 dibagi dengan 

(penjelasan: -84 dibagi -6, -580 dibagi 2 dan seterusnya) 

akan didapat matriks D

Setelah kita mendapatkan matriks D berukuran 2x2, maka dengan mudah kita bisa menghitung determinannya det D = (14×(-109)) - (421×(-290)) = 120.564. 

Langkah terakhir (!) kita bagi hasil determinan D di atas dengan interior matriks C, yaitu 36.

=120.564 : 36 = 3.349.

Jadi determinan matriks A = 3.349.

Demikianlah cara cepat menentukan determinan Matriks 5x5 yang bisa juga digunakan untuk mencari determinan sebarang matriks berukuran nxn, dengan n lebih dari atau sama dengan 3. Terima kasih sudah berkenan membaca sampai tuntas, semoga ada manfaatnya. Jika masih ada yang perlu didiskusikan, silahkan manfaatkan kolom komentar yang ada di bawah postingan ini. Salam.

Dapatkan artikel terbaru: